Le binôme de Newton pour les matrices ?? Dans ce cas ta formule de Newton va se limiter à trois termes :   et tu fais la somme des matrices. Ici, (n,p) x (p,r) = (n,r) (attention cette notation n’est pas du tout bonne mathématiquement, c’est juste pour t’expliquer le fonctionnement). J'ai trouvé B² mais je ne trouve pas de relation reliant B et B². —. Remarque : la matrice nulle et la matrice identité sont des matrices diagonales particulières ! On a vu en effet qu’on ne peut pas diviser des matrices… Mets tes réponses ( et on pourra t'aider. Pour le notation, on n’écrit pas deux fois le même chiffre mais une seule fois puisqu’il s’agit du même : ainsi on n’écrira pas mais , on n’écrira pas mais etc… Ainsi t(AB) et tBtA sont bien tous les deux des matrices de même dimension. Remarque : la matrice Id est une matrice diagonale dont tous les coefficients valent 1, et comme 1n = 1, on a : Dans les exercices où on demande de calculer la puissance d’une matrice, une des méthodes est de décomposer celle-ci en faisant apparaître une matrice diagonale, puis utiliser la formule du binôme de Newton pou les matrices. Ainsi, les matrices suivantes sont des matrices diagonales : — L’équation précédente peut en effet s’écrire : On retrouve exactement la même équation que pour les matrices avec 4 qui correspond à A, x à B et 5 à C. On peut donc très bien avoir A x B qui existe et B x A qui n’existe pas. Donc Ak = O3 pour tout k ≥ 3, ce qui normal car A3 = O3 mais A et A2 ne sont pas nulles. La trace d’une matrice A est notée Tr(A). Lisez plutôt. Retiens donc que quand tu factorises par une matrice, le résultat ne peut pas être un chiffre seul, ce chiffre doit être multiplié par Id : A-1 x A x B = A-1 x C Et si tu calcule B3, ça donne quoi ? Ainsi, pour les matrices, il faut faire la distinction entre multiplier à gauche ou à droite, alors que pour les réels ou les complexes par exemple cela n’a pas d’importance. On dit alors que c’est une matrice 2 x 3 : cela correspond à la taille de la matrice, on parle aussi de dimension de la matrice. Dans la suite nous n’utiliserons pas cette écriture par souci d’économie de place (et puis pour t’habituer à faire les calculs ). Dans le cas particulier de matrices carrées de même dimension, on pourra toujours faire A x B et B x A, et le résultat sera une matrice carrée de même dimension. Il n'y a aucun besoin de (re)vérifier par récurrence la formule de Newton ! Nous verrons cela dans les autres chapitres sur les matrices, notamment la diagonalisation. La première formule correspond, dans les réels, à x0 = 1. En revanche, nous verrons plus loin que cette notation A-1 n’est pas anodine et est liée à ce que l’on vient de dire… Dans ce cas, Ak = O pour tout k ≥ n. Saches tout d’abord que la multiplication de matrices n’est pas commutative. La matrice inverse, qu’est-ce que c’est ? En effet, (B + C)A = BA + CA, ce qui n’est pas égal à AB + AC car, on le rappelle, la multiplication n’est pas commutative…, Par contre il y a un autre piège beaucoup plus important dans lequel tombent de nombreux élèves !! Il en va de même pour les coefficients (voir ci-dessous) On a tA = -A donc A est une matrice antisymétrique. Quand on résout un système linéaire avec une matrice A telle que AX = B : Dans cette partie toutes les matrices seront des matrices carrées, afin qu’on puisse les multiplier entre elles. En revanche, on ne divise jamais des matrices !!! On y vient ! matrices et binôme de Newton. La bonne réponse est : 3A6 – 6A3 + 7A = A(3A5 – 6A2 + 7Id), et là c’est bon car 7Id est une matrice, — Je trouve toujours des valeurs différentes, je tourne en rond (A+2I)^n= (n,0)*2^nI + A*(n,1)*2^(n-1)I + A^2*(n,2)*2^(n-1)I         =2^nI + A*n*2^(n-1)I + A^2*n(n-1)*2^(n-3)         =(2^n  2^(n-1)n  n2^n    )   + n(n-1)*2^(n-3)*A^2          (0    2^n      n2^(n-1)  )          (0     0       2^n       )            =( 2^n  n2^(n-1)  n2^n+n(n-1)2^(n-3) )          (0      2^n      n2^(n-1)           )          (0      0        2^n                ) Bref je ne pense pas que c'est la bonne réponse, je ne sais pas où se trouve l'erreur Merci de m'avoir répondu steen je ne pensais pas qu'il y aurait quelqu'un pour m'expliquer les maths alors qu'il est minuit passé. Evidemment on ne fait pas B = A/C, car on a dit qu’on ne divisait pas des matrices…. Remarque : on peut parfois trouver la notation At mais elle ne sera pas utilisée dans la suite, nous noterons toujours tA. … + kA = A(… + kId) avec k réel (ou complexe) Ainsi A x A-1 = A-1 x A = Id : A et A-1 sont toujours commutatifs. Evidemment comme on parle de diagonale il faut que la matrice soit carrée (une matrice non carrée n’a pas de diagonale). On factorise par A : A x (3A4 – 6A2 + 7Id) = Id —. Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Et là tu dois faire la somme de 0 à n suivant la formule classique du binôme. Ton calcul de est faux ! Alors A + O3 = A et A – O3 = A. Ce qui est totalement logique puisque l’on ajoute ou on soustrait 0 à chaque coefficient de la matrice A, ce qui ne change pas ses coefficients. Sinon tu auras des points en moins… Mais attention !!! Bien sûr il faut pour cela que A-1 existe, donc que A soit inversible. Bonjour,Voici mon sujet:Soit T = 2 1 0                  0 2 1                   0 0 2D=2I et N=T-D, à l'aide du binôme de Newton et de la décomposition T=D+N déterminer T^n en fonction de n.Alors j'ai calculé N= 0 1 0        0 0 1        0  0 0D= 2 0 0        0 2 0        0 0 2Par récurrence, N^n= 2^(n-1) N donc,T^n = (D+N)^n = (2I+N)^nT^n = Je pêche pour la suite. En effet, prenons l’exemple suivant : En revanche, il y a un cas particulier que l’on retrouve souvent et qui est simple : les matrices diagonales. —. — Formule du binôme de Newton - Correction Exercice 1 1) Quel est le coefficient de dans le développement de puis de ? Envoyé par georges . Prenons le système linéaire suivant : Ce système peut s’écrire sous forme de matrice : Résoudre le système revient à chercher x, y et z donc le vecteur colonne X. En effet, imaginons que l’on ait un x réel avec l’équation 4x = 5, et on cherche à isoler x. Et comme A-1 est unique, X est unique : il y a une unique solution ! Pour faire des opérations sur des matrices, il y a en revanche certaines conditions. (car A-1 x A = Id) on peut les additionner ou les soustraire car elles sont toutes les deux de dimension 2 x 3. La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton [1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Exemple : La multiplication de matrices 3A6 – 6A3 + 7A2 = A(3A5 – 6A2 + 7A) Et quels sont les valeurs qui restent à calculer sachant que A est nilpotente au rang 3. —. —, Et pour clôturer cette partie sur les multiplications : un piège à éviter. Pour multiplier en revanche, c’est un peu plus complexe. Bonjour. j'ai par contre un bagage de chimie, mais les maths ont disparu très ou trop vite de mon cursus universitaire ce qui explique que replonger dedans est assez douloureux. la 1ère ligne de A devient la 1ère colonne de tA Mais d’où vient cette règle que le nombre de colonnes de gauche doit être égal au nombre de lignes de droite ? Par exemple si , on peut faire A x B et B x A, et le résultat sera une matrice carrée de (mais A x B ne sera pas forcément égal à B x A). Ainsi : — Je t'avais dit de calculer (sans erreur) les puissances de ! — Par exemple si A , on peut faire A x B uniquement si p = q, sinon c’est impossible ! On considère la matrice A = (2 -1 0) et la matrice B telle que A= 2 * I3 + B                             (0 2 -1)                             (0 0  2) Soit n appartenant à N*, calculer B² puis B^n. On dit que la matrice nulle est l’élément neutre des matrices pour l’addition. Mais pour les matrices, A-1 ne signifie pas 1/A !! Preuve : binôme de Newton pour les matrices. On pourrait ensuite calcul A4, A5, A6 etc… mais à chaque fois on retrouvera O3 ! On voit donc assez facilement que la ligne de la matrice de gauche doit avoir autant de coefficients que la colonne de la matrice de droite, d’où la règle énoncée ci-dessus, L’intérêt de cette méthode est qu’elle limite le nombre d’erreurs, mais il faut prendre plus de place sur la copie^^ La matrice inverse —. La deuxième formule est assez évidente. exercice sur la multiplication de matrices. Cette matrice est nécessairement carrée (contrairement à la matrice nulle) et possède uniquement des 1 sur sa diagonale, les autres coefficients étant 0. L’ensemble des matrices est noté , où est un corps (souvent ou Une remarque importante cependant : le A-1 doit nécessairement se trouver à côté du A pour pouvoir donner l’identité. En effet, on aurait tendance à dire t(AB) = tAtB, mais c’est faux !! Merci pour votre réponse, j'ai calculé le binôme et je trouve: M^n= ( 2^n    2^(n-1)    n(n-1)2^(n-2) )        (  0    2^n      0           )        ( 0    0         2^n         ) j'ai calculé en prenant k=0, k=1, k=2 et k=n je ne comprend pas pourquoi on doit garder le dernier terme, car la matrice est nilpotente pour k3 et n est supérieur à 3 ? A est une matrice de dimension 2 x 3, donc tA est de dimension 3 x 2 : Là encore rien de compliqué, la première ligne devient la première colonne etc…. Maintenant que l’on a vu comment noter des matrices, nous allons pouvoir commencer à faire des opérations sur les matrices. — Prenons par exemple une matrice A carrée de dimension 3. De plus, comme on a multiplié par A-1 à gauche dans la partie gauche de l’équation, il faut faire de même dans la partie droite de l’égalité. Imaginons que l’on veuille factoriser 3A6 – 6A3 + 7A. Si A x B = B x A, on dit que A et B sont commutatives. —, — (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Opérations sur les matrices : multiplication. — Mais dans la pratique la plupart des termes s'annuleront puisque A est nilpotente pour p3 Y a plus qu'à! Je ne vois pas ce qui te gène. Soit p ∈N p ∈ N. Supposons que la proposition H(p) H ( p) soit vraie. — — Si en revanche tu es en études post-bac, tout ce qui suit doit être absolument su ! Tout d’abord, qu’est-ce qu’une matrice ? —, Comme tu le vois ce n’est pas trop compliqué. En effet, nous allons parler de puissances de matrices, c’est-à-dire An, avec n entier naturel : si A est une matrice carrée on peut bien la multiplier par elle-même. Mais ne faut il pas utilisé un raisonnement par récurence pour montrer que B^n =0 pour tout n différent de 1 et de 2? Comme A3 = O3 mais A2 ≠ O2, 3 est appelé l’indice de nilpotence, car c’est à partir de k = 3 et pas avant (dans cet exemple) que Ak = O3. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. Au collège on apprend qu’il faut multiplier par 1/4 de part et d’autre : Or 1/4 = 4-1 : pour passer le 4 de l’autre côté, on multiplie par son inverse qui est 1/4, soit 4-1. Comme on a A x B, il faut donc multiplier A GAUCHE par A-1, car si on avait multiplié à droite, cela aurait donné A x B x A-1 et on aurait rien pu faire d’autre car, on le rappelle, les matrice ne sont pas commutatives… Remarque importante : quand on parle de la diagonale d’une matrice, on parle toujours de celle qui part du haut à gauche et qui arrive en bas à droite, pas de celle qui va du bas à gauche au haut à droite. On suppose donc que A et B sont de dimension respectives m x n et n x p. Ainsi si on a deux matrices A et B, faire A/B ne veut rien dire ! On a donc comme coefficient de ce terme : ˙ ˝ ˛ ˆ ˙ On a de façon générale : Le coefficient de est donc ˘ˇ ˆˆ On a de façon générale : ˙ Le terme s’obtient quand ˝. j'ai calculé B^3 et ça donne 0. —. Répondre. L'as-tu fait ? (I est la matrice identité) Je ne sais pas si je dois calculer le binôme en partant du rang 2 ? Associativité : quand on multiplie des matrices entre elles, on peut mettre des parenthèses où l’on veut : Pour calculer ABC, on peut ainsi d’abord calculer A x B puis multiplier par C, ou d’abord calculer BC puis multiplier par A. Imaginons que l’on ait A x B = C et que l’on sache que A est inversible. Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! Autre remarque : la symétrie ou l’antisymétrie ne concerne que les matrices carrées : là encore on le voit bien avec les dimensions : une matrice non carrée ne peut pas être égale à sa transposée puisqu’elle n’aurait même pas la même dimension. On retrouve la formule de l’identité remarquable ! On utilisera souvent le fait que An+1 = A x An = An x A dans les récurrences : on remplacera An+1 par A x An ou An x A selon l’exercice. Multiplier une matrice par I, c’est comme multiplie un nombre par 1, ça ne change rien ! On a tA = A donc A est une matrice symétrique. Ceci dit, tu peux aussi nous aider : malou t'a montré comment écrire des matrices sur le forum ! A x B = C Matrice et système linéaire Il est visible que est nilpotente... Tu as bien raison de vouloir utiliser la formule de Newton mais : 1. Le 31 a été calculé en faisant 3 x 1 + 4 x 7 Cette matrice est notée Id, ou I, ou I suivie du chiffre correspondant à sa dimension. Tu peux t’entraîner en calculant (A + B)3 de deux manières différentes : avec la formule, et en faisant (A + B)(A + B)(A + B) : tu verras que les deux formules sont égales uniquement si A et B commutent. La matrice A est nilpotente pour tout p 3. Mais dans la pratique la plupart des termes s'annuleront puisque A est nilpotente pour p 3 Y a plus qu'à! Pour une matrice carrée de dimension 3 (cas que l’on retrouve souvent dans les exercices), cela donne : Si la matrice s’était appelée B, on aurait notée b1,1, b2,3, b2,2…. Tu dois sûrement te demander : comment sait-on si une matrice est inversible ou non ?? Sachant que la matrice identité commute avec n'importe quelle autre matrice, tu peux effectivement utiliser la formule du binôme de Newton. Par contre nous verrons plus loin que l’on peut multiplier un nombre avec une matrice.  Cette formule est appelée formule du binôme de Newton et est utile pour calculer  (a + b) n. Elle peut être généralisée sans soucis au cas où  a et  b sont deux éléments commutants (i.e. Les multiplications pour les matrices sont donc source de nombreuses erreurs possibles, donc fais bien attention quand tu multiplies des matrices ! Prenons un autre exemple en détaillant les calculs : donc A x B existe et le résultat sera une matrice 2 x 2. Bien Maintenant, appliques la formule du binome de Newton pour calculer . Voyons un exemple d’utilisation de cette technique (exemple que l’on voit en Terminale en spé Maths notamment) : Oui mais… à quoi ça sert ?? —. georges matrices et binôme de Newton il y a quatorze années Bonjour à tous, Je rencontre des pbs du genre trouver la puissanve nième d'une matrice carrée donnée en utilisant la formule du binôme de Newton. De la même manière, on peut factoriser les matrices : Puis regarde les termes qui vont disparaître du fait que dès que p3, Ap=0, Oui je suis désolée, dans les coefficients que j'ai calculé je n'ai pas pris en compte n de la combinaison (c'est absurde, je fais souvent des erreurs de raisonnement) Je ne sais pas si la matrice que j'ai trouvé est juste ou non ? Une application classique de la matrice inverse est la résolution de systèmes linéaires. En revanche, si A et B commutent, on peut remplacer BA par AB, d’où : B2, je trouve donc A^n = 2^n + (0 -n2^(n-1) 0)           +(0 0 (n(n-1)2^(n-2))/2)                            (0    0      -n2^(n-1))    (0 0    0             )                            (0    0      0)            (0 0    0             ). On a alors la formule : Remarque : on a en particulier Tr(Id) = n, puisque Id est composée uniquement de 1 sur sa diagonale. Tu n'as qu'a remplacer dans la formule que j'ai donné plus haut. Pour se faire c’est très simple, on additionne ou on soustrait terme à terme : — Remarque : pour une matrice symétrique, peu importe les coefficients de la diagonale car ils restent sur la diagonale, et ils sont égaux à eux mêmes. Elle ne me donne pas un résultat aussi simple. On parle alors de matrice de dimension 3 si elle appartient à par exemple. — Après, tu fais des copié-collé et tu changes les coefficients. Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! Par associativité, on a donc : Cela démontre que A est commutatif avec toute puissance de A. Mais pourquoi donc A et B doivent-ils être commutatives ? (n − k)! Le principe est … On a donc bien une matrice B telle que A x B = Id, donc A est inversible et A-1 = 3A4 – 6A2 + 7Id. Cela fait l’objet d’un chapitre à part car le calcul d’un déterminant ne s’explique pas en 2 lignes…. Remarque : dans toute cette partie sur les puissances, la puissance sera forcément positive, ce pourquoi on a précisé n entier naturel et non pas entier relatif. On peut donc en déduire la formule suivante : Dans cette formule, n est le nombre de colonnes de A, et de lignes de B (car il y a autant de colonnes dans A que de lignes dans B comme vu précédemment). Ainsi si on veut appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer (A + B)n, il faut d’abord montrer que A et B commutent, c’est-à-dire que AB = BA. matrice et binome de newton : forum de maths - Forum de mathématiques. . Si B3 est la matrice nulle, que vaut Bn ? Ainsi, de la même manière que multiplier par 4-1 revient à diviser par 4, multiplier par A-1 revient à diviser par A, sauf que pour les matrices on ne divise jamais par une matrice, on multiplie par son inverse. Pour poser un exercice sur les matrices et ignorer la formule de Newton tu fais quelles études ? Désolé, votre version d'Internet Explorer est, Dualité, Orthogonalité et transposition - supérieur. Et quels sont les valeurs qui restent à calculer sachant que A est nilpotente au rang 3.

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